MAC02A Note 1

1.
Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte.

a)
x
l
®
i
m
±
¥
x
2
x
+
2
3
-
x
5
+
4

2 Pkt.

b)
x
l
®
i
m
±
¥
3
x
x
2
3
+
-
4
5


2 Pkt.

c)
x
l
i
®
m
3
x
2
x
-
-
x
3
-
6
Er sieht den blauen Anteil des internationalen Geschäfts der Firma und erkennt, dass sich die Zahl der Abonnenten innerhalb von fünf Jahren praktisch verzehnfacht hat. Dies müsste doch ein gutes Geschäft zum Anlegen von Aktien sein.

Wachstum bedeutet für Paul eine Beschreibung durch eine Exponentialfunktion.

In einem Artikel findet er auch noch die Daten für 2012: In den USA 25 Millionen und international 5 Millionen Abonnenten.

Sofort macht er sich daran die beiden zugrundeliegenden Funktionen zu bestimmen.

a)
Beschreiben Sie Pauls Rechenschritte und seine Überlegungen zur Art seiner Berechnung.

m
y
b
=
=
=
m
2
5
5
2
x
,
8
+
5
-
b
2
5
=
5
,
5
6

g
f
5
6
{
{
x
x
,
5
}
}
=
=
=


a
g
2
5
{
×

e
x
+
k
}
×
5
=
{
,
t

5
5
-
2
6
×
0

e
{
1
t
k
2
}
-
×
{
2
2
0
0
1
7
1
-
2
2
}
0
1
2
}

_________________________

_________________________

®
g
g
{
{
x
x
k
y
}
}
=
=
=
=
a
5
0
f
,
×
×
{
4

e

e
t
8
0
}
k
,
5
+
4
×
{
8
t
5
g
-
×
2
{
{
t
0
t
1
-
}
2
2
=
}
0
1
2
2
}
5
+
5
,
5
6
{
t
-
2
0
1
2
}
+
5
×

e
0
,
4
8
5
×
{
t
-
2
0
1
2
}
.

b)
Ergänzen Sie die beiden fehlenden Rechenschritte in der Beschreibung von Pauls Rechenschritten von Teil a).

c)
Pauls Frau zweifelt, ob hier wirklich eine Exponentialfunktion zugrunde liegt. Sie rät ihm, doch einmal die Anzahl der Abonnenten 2015 mit seiner Funktion zu berechnen.

Berechnen Sie dies und vergleichen Sie Ihren berechneten Wert mit der Grafik.

d)
Welche Schlussfolgerung ziehen Sie aus dem Ergebnis von Teil c)?

4.
Die mittlere Zahl der Sonnenscheinstunden in Deutschland kann man dem Wetterdienst entnehmen. Abb. E.2 und die Tabelle geben die Daten an.

Die Daten und die Grafik legen die Beschreibung durch eine trigonometrische Funktion nahe.

a)
Stellen Sie die Werte der Tabelle in einem Koordinatensystem grafisch dar.

b)
Ein Teilnehmer hat sich nun zu der Beschreibung durch eine trigonometrische Funktion einige Notizen gemacht.

Maximum höher als 7,1 also 7,3

Minimum tiefer als 1,4 also 1,3

7,3 – 1,3 = 6 a = 3

Periode ist 12

Das Maximum liegt etwas vor der Mitte Juni Juli t = 6,3, das Minimum etwas vor der Mitte Dezember und Januar 12,3

Abstand zwischen Maximum und Durchgang durch den Mittelwert ist ein Viertel der Periode

Mittlere Sonnenscheindauer (7,3 + 1,3) : 2 = 4,3

Beschreiben Sie anhand seiner Notizen, der Grafik und der Daten seine Überlegungen zur Bestimmung der Parameter a, b, c und d der näherungsweise beschreibenden Funktion f mit

f
{
x
}
=
a
×
s
i
n
æ
ç
è
2
b
π
{
t
-
c
}
ö
÷
ø
+
d
.

c)
Geben Sie die Parameter a, b, c und d der näherungsweise beschreibenden Funktion f mit

f
{
x
}
=
a
×
s
i
n
æ
ç
è
2
b
π
{
t
-
c
}
ö
÷
ø
+
d
an.

d)
Zeichnen Sie die Funktion f in dem Koordinatensystem aus Teil a) ein und beurteilen Sie die Güte der Näherung.