MAC05A ✶ Note 1 ✶

1. Aufgabe:
Aufgabe ohne Hilfsmittel
Gegeben seien die Ebene E: 2x1  2x2  3x3  6.
a) Skizzieren Sie die Ebene in dem Koordinatensystem von Abb. A.1.
[. . .]

Abb. A.1:
b) Geben Sie die Gleichung einer Ebene an, die senkrecht auf E steht und den Punkt (1|1|1) enthält.
[. . .]
<Pkt.>/5 Pkt.
2. Aufgabe:
Aufgabe ohne Hilfsmittel
Gegeben ist die Ebenengleichung E: x1  2x2  3x3  6 und die Gerade
.
a) Berechnen Sie den Schnittpunkt S von E und G.
[. . .]
b) Berechnen Sie die Länge der Strecke vom Aufpunkt der Geraden zum Schnittpunkt S.
[. . .]
<Pkt.>/5 Pkt.
3. Aufgabe:
Aufgabe ohne Hilfsmittel
Gegeben ist eine quadratische Pyramide, deren Grundfläche durch die Punkte A, B, C und D und deren Spitze durch den Punkt S gegeben ist. Die Grundfläche hat eine Kantenlänge von 4 Längeneinheiten und die Höhe beträgt 6 Längeneinheiten.
a) Geben Sie mögliche Koordinaten für A, B, C, D und S in einem kartesischen Koordinatensystem an.
[. . .]
b) Das Volumen der Pyramide soll verneunfacht werden. Geben Sie zwei Möglichkeiten an, wie Sie die neue Pyramide konstruieren können.
[. . .]
<Pkt.>/5 Pkt.
4. Aufgabe:
Aufgabe ohne Hilfsmittel
Gegeben ist die Ebene E mit der Gleichung 2x1  x2  x3  -1 sowie der Punkt P(2|3|4).
a) Zeigen Sie, dass P nicht in der Ebene liegt.
[. . .]
b) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P´, der durch Spiegelung von P an der Ebene entsteht.
[. . .]
<Pkt.>/5 Pkt.

Ab hier dürfen Sie wieder Taschenrechner und Formelsammlung verwenden.
5. Aufgabe:
Ein Haus erhält ein Walmdach der Form im Material 1. Die Punkte C, D, E und F sind Eckpunkte des rechteckigen Dachbodens. Das Dach ist symmetrisch zur x1-x3-Ebene. Eine Längeneinheit entspricht einem Meter. Gegeben sind die Punkte A(0|3|3), C(3|4|0), D(3|4|0) und F(4|4|0).
a) Geben Sie die Koordinaten der Punkte B und E an.
[. . .]
b) Berechnen Sie den Winkel der Dachkannte AC gegenüber dem Dachboden.
[. . .]
c) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Dachfläche BDE.
[. . .]
d) Berechnen Sie die Koordinatengleichung der Ebene BDE.
[. . .]
e) Im Punkt G(0|1|0) wird ein 5 m langer Fahnenmast so befestigt, dass er senkrecht aus der Dachfläche BDE heraustritt. Berechnen Sie den Punkt H, an dem der Fahnenmast die Dachfläche durchstößt.
[. . .]
f) Berechnen Sie die Länge des aus dem Dach herausragenden Teils des Fahnenmastes.
[. . .]
g) Skizzieren Sie den Fahnenmast im Material 1.
[. . .]
h) Zu einer bestimmten Tageszeit fällt ein Lichtstrahl auf den Fahnenmast in Richtung des Vektors ein. Berechnen Sie den Punkt J auf der Dachfläche BDE, auf den die Fahnenmastspitze abgebildet wird. [Zur Kontrolle: Auf zwei Nachkommastellen gerundet erhalten Sie J(1,94|3,8|0,61).] [. . .]
i) Berechnen Sie den Abstand des Punktes J vom Fahnenmast.
[. . .]
j) Berechnen Sie den Flächeninhalt der gesamten Dachfläche.
[. . .]
Material 1:

Abb. A.2:
<Pkt.>/38 Pkt.
6. Aufgabe:
Auf einem Militärflugplatz in der Nähe des Äquators startet um 12.00 Uhr mittags ein Hubschrauber Ha vom Punkt H0 (10|5|0) (eine Längeneinheit entspricht 1 km). Er bewegt sich gradlinig und ist 3 Minuten später am Punkt H3 (19|20|3). Ein zweiter Hubschrauber Hb bewegt sich von einem Privatflugplatz ebenfalls gradlinig mit der Zeit t, gemessen ab 12.00 Uhr mittags, auf der Geradengleichung . Beide Flugplätze liegen in der x1-x2-Ebene. Am Punkt (8|10|0) befindet sich ein Krankenhaus, an dem die Hubschrauber wegen Lärmschutzes mit mindestens 5 km Entfernung vorbeifliegen sollen.
a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Hubschraubers Ha mit dem Parameter Zeit t in Minuten auf.
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b) Berechnen Sie den Startpunkt des Hubschraubers Hb.
[. . .]
c) Berechnen Sie die Geschwindigkeit der beiden Hubschrauber in km pro Minute.
[. . .]
d) Berechnen Sie den Zeitpunkt nach dem Start an dem der Hubschrauber Hb doppelt so weit von dem Krankenhaus entfernt wie Hubschrauber Ha.
[. . .]
e) In dem ebenen Gelände des Flugplatzes überprüft wegen des Ausfalls der Radaranlage eine Kommission anhand des Schattenbildes von Ha, dass der Hubschrauber die vorgeschriebene Fluglinie einhält. Um 12.00 Uhr mittags verlaufen die Sonnenstrahlen senkrecht nach unten. Berechnen Sie den Verlauf des Schattenbildes von Ha.
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Nach insgesamt 3,5 Minuten Flugzeit haben beide Hubschrauber ihre Reisehöhe erreicht. Von da an behalten sie die x1- und x2-Richtung bei und halten ihre Reisehöhe konstant.
f) Überprüfen Sie, ob die beiden Hubschrauber den notwendigen Abstand zu dem Krankenhaus halten.
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Nach etwa zweieinhalb Stunden fliegt Hubschrauber Hb über eine schräge Hochebene, die die Eckpunkte A(800|900|3), B(250|960|3,2), C(650|1020|3,4)) und D(400|840|2,8) enthält. Hier fällt das Sonnenlicht nun etwas schräger gemäß ein.
g) Zeigen Sie, dass die Eckpunkte der Ebene ein Parallelogramm beschreiben.
[. . .]
h) Berechnen Sie die Gleichung der Ebene durch A, B und C in Normalenform.
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i) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD.
[. . .]
j) Berechnen Sie die Matrix A, die den Schatten des Hubschraubers in die Ebene ABCD abbildet.
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k) Berechnen Sie den Verlauf des Schattens des Hubschraubers Hb.