MatS19

1. Eine (völlig glatte) Hauswand von 6 m Länge und 2,50 m Höhe soll mit einem Farbanstrich versehen werden, der nur dann wetterfest ist, wenn er mindestens 2 mm dick ist. Wie viel Liter Farbe werden mindestens verbraucht?
2. DieRadienr1 undr2 zweierKreiseverhaltensichwie a)1:2, b)1:3, c)1:4. Wie verhalten sich ihre Umfänge, wie ihre Flächeninhalte zueinander?
3. Bei einem Kegel beträgt der Grundkreisradius r = 6 cm und die Höhe h = 8 cm.
a) Wie groß ist sein Rauminhalt?
b) Bestimmen Sie den Mantelflächeninhalt.
c) Wie groß ist der Mittelpunktswinkel  des Kreisausschnitts, der den abgewi- ckelten Kegelmantel darstellt?
4. Einem Würfel (Kantenlängea) wird in der abgebildeten Weise ein Tetraeder (Kantenlänge b) einbeschrieben. Die Länge a ist zahlenmäßig bekannt.
a) Geben Sie den Rauminhalt VT des Tetra- eders an (ausgedrückt durch a).
b) Den Würfel kann man sich zusammenge- setzt denken aus dem Tetraeder sowie vier Pyramiden gleichen Grundflächenin- halts (Beispiel: die im Bild dargestellte Pyramide S (ABC)). Wie groß ist der Rauminhalt VP jeder dieser Pyramiden?
c) Machen Sie die Probe, ob die Summe aller fünf Pyramiden-Rauminhalte in der Tat gleich dem Rauminhalt des Würfels ist.
5. Bei einer vierseitigen regelmäßigen Pyramide sollen alle Kanten die gleiche Länge a besitzen. Legt man zwei solche Pyramiden mit den Grundflächen aneinander, so entsteht ein regelmäßiger Körper, der Oktaeder genannt wird (s. Bild).
a) Wie groß ist der Oberflächeninhalt des Oktaeders?
b) Bestimmen Sie seinen Rauminhalt.
c) Vergleichen Sie den Oberflächeninhalt des Oktaeders mit dem eines Tetraeders der gleichen Kantenlänge a.
a
d) Vergleichen Sie den Oktaeder-Rauminhalt mit dem eines solchen Tetraeders.
6. Geben Sie für jeden der nachfolgenden Körper die Anzahl e der Ecken, die Anzahl k der Kanten und die Anzahl f der Begrenzungsflächen an:
a) Würfel, b) fünfseitige Pyramide, c) Tetraeder, d) n-seitiges schiefes Prisma, e) Oktaeder,
und prüfen Sie, für welche dieser Körper die Beziehung e – k + f = 2 richtig ist.
7. Die Cheopspyramide in Gizeh ist eine vierseitige Pyramide mit quadratischer Grundfläche (Kantenlänge 230 m). Die vier Seitenkanten haben jeweils eine Länge von 219 m.
a) Berechnen Sie den Rauminhalt der Pyramide.
b) Betrachten Sie zum Größenvergleich ein quaderförmiges 24-geschossiges Hoch- haus von 100 m Länge, 50 m Breite und 64,5 m Höhe, und geben Sie den Rauminhalt eines solchen Hochhauses an.
c) a)Wie viele solcher Hochhaus-Riesen – sofern sie hohl wären – könnte man mit all den Steinen ausfüllen, aus denen die Cheopspyramide erbaut worden war?
8. Bei gleichem Rauminhalt besitzen verschiedene Körper unterschiedlichen Oberflä- cheninhalt. (Wichtig für die Praxis: Wie muss bei vorgeschriebenem Rauminhalt der Körper geformt werden, damit an Verpackungsmaterial – Blech usw. – gespart werden kann?) Ergänzen Sie die folgende Tabelle:
9. Ein Eimer (s. Bild) soll die Form eines Kegelstump- fes haben mit r2 = 8 cm und h=40cm.
Wie lang muss der obere Kreisdurchmesser sein, damit der Eimer 10 Liter fasst?
10. Das nebenstehende Bild zeigt einen Zylinder mit dem Radius r und der Höhe h, aus dem ein Kegel in der abgebildeten Weise herausgeschnitten ist.
a) Geben Sie den Rauminhalt des „Restkörpers“ an.
b) Die Höhe h betrage nunmehr gerade r. Wie hoch muss ein zu einer Kugel vom Radiusr gehöriger Kugelabschnitt sein, damit er den gleichen Rauminhalt besitzt?
11. Bei einem gegebenen Kugelsektor (siehe Bild) kön- nen d = 6 cm und r = 5 cm gemessen werden. Die Kugelabschnittshöhe h ist einer direkten Messung nicht zugänglich.
a) Berechnen Sie die Höhe h.
b) Wie groß ist der Oberflächeninhalt des Sektors?
c) Geben Sie seinen Rauminhalt an.
d) Leiten Sie wie in a), jedoch unabhängig vom Zahlenbeispiel, eine Formel für die Höhe h her, wenn r1 und r bekannt sind und h wie im Bild kleiner als r ist.
12. Das Bild zeigt einen aus einem Kegelteil, einem Zylinder und einer Halbkugel zusammengeschweiß- ten Körper. Der Grundkreisradius r1 beträgt 15 cm, der Zylinderdurchmesser 6 cm, und die Höhe h1 ist gleich 16 cm. Der Körper ist hohl, nur oben geschlossen; seine Gesamthöhe h ist 27 cm.
a) Wie viele cm2 Blech wurden bei seiner Herstel- lung mindestens verwendet?
Hinweis: Richten Sie Ihr Augenmerk u. a. auf das rechtwinklige Dreieck ABC!
b) Wie groß ist sein Rauminhalt?